試験に出る公式・数式の完全網羅リスト

試験に出る公式・数式の完全網羅リスト

1ページ脳内マップ → 科目別深掘り → 公式集

① 6科目 “1ページ脳内マップ”（全体設計図）

【脳内フォルダマップ（6科目）】


英語
├─ 語彙
├─ 文法48
├─ 構文8
├─ 長文8
├─ 英作文
└─ リスニング


数学（30類型）※前回作成済
├─ 方程式
├─ 図形
├─ 微積
├─ ベクトル
└─ 確率


化学
├─ 理論化学（計算・法則）
├─ 無機化学（元素体系）
└─ 有機化学（反応パターン）


生物
├─ 細胞・分子
├─ 遺伝
├─ 代謝
├─ 生体調節
├─ 生態
└─ 実験考察20型


国語
├─ 現代文（論理構造・設問別）
├─ 古文（単語・文法）
└─ 漢文（句法・句形）


地歴
├─ 日本史（政治／経済／外交／文化）
├─ 世界史（文明別・時代別）
└─ 地理（系統地理・地誌）


小論文
├─ 文章構成
├─ テーマ別（医療／科学／環境／教育…）
└─ 思考テンプレ（因果／対比／解決策型）


② 英語 48パターン

文法48パターン

1.文型（SVC/SVO/SVOC）
2.動詞の語法（他動詞/自動詞）
3.名詞
4.冠詞
5.代名詞
6.形容詞
7.副詞
8.時制（現在/過去/未来）
9.現在完了（継続・経験・完了・結果）
10.助動詞
11.受動態
12.不定詞（3用法＋to不定詞構文）
13.動名詞
14.分詞（現在分詞・過去分詞）
15.分詞構文
16.関係代名詞（that/who/which）
17.関係副詞（when/where/why/how）
18.複合関係詞
19.接続詞
20.前置詞
21.比較（原級・比較級・最上級）
22.倒置
23.省略
24.挿入
25.強調構文
26.仮定法
27.名詞節（that/if/whether）
28.形容詞節
29.副詞節
30.平叙文／疑問文
31.否定（部分否定・二重否定）
32.無生物主語
33.形式主語
34.It構文
35.使役動詞 let/make/have
36.知覚動詞 see/hear
37.時・条件の副詞節
38.代名詞の格
39.数詞
40.可算・不可算
41.指示語
42.語法（depend on / insist on）
43.句動詞
44.コロケーション
45.前置詞＋関係詞
46.疑似関係代名詞 what
47.語彙推測
48.文脈同義文置換（最難問）

構文8

•SVOO → SVO構文
•無生物主語
•分詞構文
•形式主語
•強調構文
•関係詞の非制限
•倒置
•長文和訳型構文

長文8

•主張→根拠
•対比
•因果
•具体例列挙
•問題→解決
•評論型
•物語型
•科学論文型


③ 化学（理論・無機・有機）完全パターン化


■ 理論化学（15パターン）

1.物質量・化学反応式
2.気体の法則
3.溶液（濃度・蒸気圧・浸透圧）
4.熱化学
5.反応速度
6.化学平衡
7.酸・塩基
8.pH計算
9.滴定（中和・緩衝）
10.電池と電気分解
11.酸化還元
12.溶解度積
13.配位化学
14.分子間力
15.熱力学（エントロピー）

■ 無機化学（元素体系 10群 × 典型反応）

•水素
•ハロゲン
•硫黄
•窒素
•炭素
•リン
•アルカリ金属
•アルカリ土類金属
•遷移金属
•錯イオン

典型反応例：

•酸化還元反応
•沈殿反応
•気体発生
•配位反応

■ 有機化学（反応パターン 12型）

1.置換反応
2.付加反応
3.脱離反応
4.酸化反応
5.還元反応
6.エステル化
7.加水分解
8.芳香族反応
9.高分子反応
10.官能基変換
11.立体化学（R/S, E/Z）
12.異性体


④ 生物：実験考察20型（完全版）


1.対照実験の設定
2.検量線
3.グラフ読み取り
4.誤差要因
5.遺伝子発現実験
6.PCR・電気泳動
7.酵素反応実験
8.呼吸・光合成の実験
9.時系列データ処理
10.恒常性・ホルモン
11.神経伝達
12.生態統計
13.個体群成長曲線
14.実験動物の扱い
15.植物ホルモン実験
16.光周性
17.代謝経路解析
18.正答の書き方テンプレ
19.「考察」文のフレーム
20.出題パターン別対策


⑤ 国語：現代文8型＋設問処理


■ 現代文の構造8型

1.対比
2.具体例→一般化
3.一般化→具体例
4.因果
5.問題提起→解決
6.論のずれ
7.逆説
8.抽象→具体

■ 設問別処理

•指示語
•接続詞
•例示
•論理関係
•内容一致
•空欄補充
•要約
•心情
•叙述判断


⑥ 地歴：因果マップ（日本史・世界史）


■ 日本史：因果マップ

•政治 → 経済 → 社会 → 文化 の流れ
•朝廷・武家・幕府の権力構造
•民衆運動 → 政治改革
•戦争 → 経済・外交 → 政治体制
•産業革命 → 社会変化 → 政策形成

■ 世界史：因果マップ

•文明発生 → 帝国拡大 → 宗教・文化形成
•経済圏の競合（地中海／インド洋）
•宗教改革 → 市民革命 → 近代国家
•二つの世界大戦 → 冷戦 → グローバル化


⑦ 小論文：全テーマ型


■ 構成テンプレ

1.序論（問題提示）
2.本論①（原因）
3.本論②（影響）
4.本論③（解決策）
5.結論（まとめ）

■ テーマ別フォルダ

•医療
•科学技術
•生物・生命倫理
•経済
•社会
•教育
•国際問題
•AI・情報

■ 思考テンプレ

•因果分解
•対比整理
•構造化メモ
•3ステップ主張
•反論→再反論


⑧ 最後：試験に出る公式・数式「完全網羅集」


（数学＋化学＋物理＋生物＋地理データ）

■ 数学（基本公式）

•因数分解
•二次方程式
•三角比
•加法定理
•微分
•積分
•ベクトル
•確率
•数列
•指数対数

■ 化学

•気体法則
•pH
•平衡定数
•溶解度積
•ファラデーの法則
•反応速度式

■ 物理

•運動方程式
•力学的エネルギー
•電気
•波
•熱

■ 生物

•

遺伝計算公式
•ハーディ・ワインベルグ
•酵素反応速度

■ 地理

•ケッペン気候区分
•都市モデル
•GDP計算式


受験実戦パッケージ（テンプレ／公式集／図解設計／模範答案）


1) 数学：試験で役立つ公式フル展開（受験頻出・説明付き）

使い方：公式名 → 式 → 要点（いつ使うか） をワンラインで並べています。暗記カードに最適。

基礎代数・式の操作

•因数分解（和と積）

a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)a2−b2=(a−b)(a+b) — 2次差の分解
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)

•展開・和の公式

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

•二次式の解（解の公式）

ax2+bx+c=0⇒x=−b±b2−4ac2aax^2+bx+c=0\Rightarrow x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}ax2+bx+c=0⇒x=2a−b±b2−4ac

•判別式（根の性質）

D=b2−4acD=b^2-4acD=b2−4ac（実数根：D≥0D\ge0D≥0、重解：D=0D=0D=0）
指数・対数

•指数則

aman=am+na^m a^n=a^{m+n}aman=am+n, (am)n=amn(a^m)^n=a^{mn}(am)n=amn, aman=am−n\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}anam=am−n

•対数の定義・性質

y=log⁡ax  ⟺  ay=xy=\log_a x \iff a^y=xy=logax⟺ay=x
log⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(xy)=\log_a x+\log_a yloga(xy)=logax+logay
log⁡axy=log⁡ax−log⁡ay\log_a \dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a ylogayx=logax−logay
log⁡axk=klog⁡ax\log_a x^k = k\log_a xlogaxk=klogax
変換公式：log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}logab=logcalogcb

三角関数

•定義（単位円）

sin⁡θ,cos⁡θ,tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}sinθ,cosθ,tanθ=cosθsinθ

•基本恒等式

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1sin2θ+cos2θ=1
1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1+\tan^2\theta=\sec^2\theta1+tan2θ=sec2θ

•加法定理

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\betasin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\betacos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ

•倍角・半角

sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin2\theta=2\sin\theta\cos\thetasin2θ=2sinθcosθ
cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ=2cos⁡2θ−1=1−2sin⁡2θ\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\thetacos2θ=cos2θ−sin2θ=2cos2θ−1=1−2sin2θ
sin⁡2θ=1−cos⁡2θ2\sin^2\theta=\dfrac{1-\cos2\theta}{2}sin2θ=21−cos2θ, cos⁡2θ=1+cos⁡2θ2\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}cos2θ=21+cos2θ

•三角方程式の解法（変形・置換パターン） — 重要テク：t=tan⁡(θ/2)t=\tan(\theta/2)t=tan(θ/2)置換

ベクトル・行列

•内積（2次元/3次元）

a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θ=axbx+ayby(+azbz)\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta = a_x b_x + a_y b_y (+ a_z b_z)a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ=axbx+ayby(+azbz)

•外積（3次元）

a×b=\mathbf{a}\times\mathbf{b}=a×b= 面積ベクトル（向きは右ねじ）

•直線・面の方程式（平面）

直線（2点）方程式、平面の法線ベクトルを使う式など（入試頻出変形を暗記）

微分・積分（解析）
•導関数基本公式

ddxxn=nxn−1\dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}dxdxn=nxn−1
ddxsin⁡x=cos⁡x\dfrac{d}{dx}\sin x=\cos xdxdsinx=cosx, ddxcos⁡x=−sin⁡x\dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin xdxdcosx=−sinx
ddxex=ex\dfrac{d}{dx}e^x=e^xdxdex=ex, ddxln⁡x=1x\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}dxdlnx=x1

•合成関数（連鎖律）

(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x)(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)

•積・商の微分

(uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv'(uv)′=u′v+uv′, (uv)′=u′v−uv′v2(\dfrac{u}{v})'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}(vu)′=v2u′v−uv′

•テイラー展開（主要）

ex=∑n=0∞xnn!e^x=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}ex=∑n=0∞n!xn
sin⁡x=x−x33!+…\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dotssinx=x−3!x3+…（小角近似に有用）

•定積分と面積・体積

面積：S=∫abf(x) dxS=\int_a^b f(x)\,dxS=∫abf(x)dx
回転体の体積（円盤法）：V=π∫ab[f(x)]2dxV=\pi\int_a^b [f(x)]^2 dxV=π∫ab[f(x)]2dx

•微分応用：極値・増減表・接線の方程式

数列・級数

•等差数列：第n項 an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)dan=a1+(n−1)d、和 Sn=n2(a1+an)S_n=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)Sn=2n(a1+an)
•等比数列：第n項 an=a1rn−1a_n=a_1 r^{n-1}an=a1rn−1、和（r≠1r\neq1r=1) Sn=a11−rn1−rS_n=a_1\dfrac{1-r^n}{1-r}Sn=a11−r1−rn
•極限の基本：lim⁡n→∞rn=0\lim_{n\to\infty} r^n =0limn→∞rn=0 iff ∣r∣<1|r|<1∣r∣<1

確率・統計

•組合せ：順列 P(n,k)=n!(n−k)!P(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!}P(n,k)=(n−k)!n!、組合せ C(n,k)=n!k!(n−k)!C(n,k)=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}C(n,k)=k!(n−k)!n!
•二項定理・期待値・分散：
E[X]=∑xP(X=x)E[X]=\sum xP(X=x)E[X]=∑xP(X=x)、Var(X)=E[X2]−E[X]2\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2Var(X)=E[X2]−E[X]2

複素数

•表示：z=a+bi=reiθz=a+bi=re^{i\theta}z=a+bi=reiθ（極形式）
•De Moivre：(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡nθ+isin⁡nθ(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta + i\sin n\theta(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ

小論点（入試で頻出）

•不等式（AM-GM、不等式の証明パターン）
•凸凹関数・ Jensen の応用（上級問題に出る）


2) 化学：計算問題テンプレ（全パターン）

目的：どの設問にもテンプレをコピペして当てはめられる「解法スクリプト」と「チェックリスト」


共通手順（5ステップテンプレ）

1.問題読み→与えられた量の単位確認（mol, g, L, atm, mol/L）
2.求めるものを明確化（mol? mass? c? pH?）
3.計算ルートを書く（図示）（例：g → mol → 理論量）
4.計算実行（単位を逐一書く）
5.結果検算（次元・理論値と整合）＋意味の解釈


テンプレA：物質量（モル）計算

•Step1: 与えられた質量 mmm と分子量 MMM を確認
•Step2: n=mMn=\dfrac{m}{M}n=Mm を計算
•Step3: 反応比で求める（係数比）
•Step4: 求める質量 m求=n求×M求m_{求} = n_{求} \times M_{求}m求=n求×M求


テンプレB：気体法則（理想気体）

•与件：P,V,TP,V,TP,V,Tのうち2つ以上与えられる
•公式：PV=nRTPV=nRTPV=nRT（R=0.08206 L·atm·mol⁻¹·K⁻¹）
•Step: 必ず温度はKに変換


テンプレC：溶液濃度

•モル濃度 c=nVc=\dfrac{n}{V}c=Vn（mol/L）
•質量パーセント：%\%%=質量溶質/溶液質量×100
•ppm, ppb の変換注意


テンプレD：pH計算（強酸/強塩基）

•強酸：[H+]=c酸⇒pH=−log⁡10[H+]\text{[H}^+\text{]} = c_\text{酸} \Rightarrow \text{pH}=-\log_{10}[\text{H}^+][H+]=c酸⇒pH=−log10[H+]
•弱酸：酸解離定数 Ka=[H+][A−][HA]K_a=\dfrac{[H^+][A^-]}{[HA]}Ka=[HA][H+][A−] を用いて近似または2次方程式を解く（必要なら平方根近似）


テンプレE：滴定曲線（酸–塩基滴定）

•当量点：mol H⁺ = mol OH⁻
•指示薬の変化pH範囲を確認
•計算：初濃度・体積 → 中和後の残存モル → pH


テンプレF：平衡（化学平衡）

•反応 aA+bB⇌cC+dDaA+bB\rightleftharpoons cC+dDaA+bB⇌cC+dD
•平衡定数：Kc=[C]c[D]d[A]a[B]bK_c=\dfrac{[C]^c[D]^d}{[A]^a[B]^b}Kc=[A]a[B]b[C]c[D]d
•ICE表（Initial/Change/Equilibrium）で代数処理


テンプレG：反応速度（速度式）

•初速度法：速度 v=k[A]m[B]nv=k[A]^m[B]^nv=k[A]m[B]n を実験データからm,n決定
•反応次数の決定 → 単位チェック


テンプレH：電気化学（電池・電解）

•標準電極電位表を参照（受け取り側が還元）
•電池起電力：Ecell∘=E(cathode)∘−E(anode)∘E^\circ_{cell}=E^\circ_\text{(cathode)}-E^\circ_\text{(anode)}Ecell∘=E(cathode)∘−E(anode)∘
•電気分解：ファラデー定数 F=96485 C/molF=96485\ \mathrm{C/mol}F=96485 C/mol


例題テンプレ（使い回し可能）

例：0.10 mol/L HCl 50.0 mL と 0.10 mol/L NaOH を滴定。NaOH で中和するために必要な体積は？
•Step1: mol HCl = 0.10×0.0500=0.005000.10\times0.0500=0.005000.10×0.0500=0.00500 mol
•Step2: NaOH 必要 mol = 0.00500 mol → 体積 V=0.005000.10=0.0500V=\dfrac{0.00500}{0.10}=0.0500V=0.100.00500=0.0500 L = 50.0 mL



3) 英作（英作文）テンプレ：型別完全コピペ＋フレーズ集

目的：速攻で使える「型」と「差がつく文例」。英作は「型」を当てると満点近い。


A. Opinion Essay（意見型：賛成／反対）

•構成（120–180 words）
1.Introduction（立場明示）
2.Body1（理由1＋具体例）
3.Body2（理由2＋具体例）
4.Conclusion（要約＋強調）
•Opening phrases
“In my view, …” / “I strongly believe that …” / “There is no doubt that …”
•Useful sentences
“First of all, …” / “For instance, …” / “Consequently, …”
•Model opening
“In my view, modern technology has brought more benefits than drawbacks. Firstly, …”


B. Problem–Solution（問題→解決）

•Structure: Intro (problem) → Cause (1–2 lines) → Solutions (2–3 proposed, reasoned) → Conclusion
•Phrases: “One possible solution is …”, “A more feasible approach would be …”


C. Compare–Contrast

•Use linking: “On the one hand…, On the other hand…” “In contrast…”


D. Process Description（手順）

•Use passive voice: “First, the sample is heated to …” “After that, it is cooled for…”


E. Formal Email

•Opening: “Dear Sir/Madam,”
•Purpose line: “I am writing to request …”
•Closing: “I look forward to your prompt response. Sincerely, [Name]”


Useful Lexical Bundles & Collocations

•cause significant problems, play a vital role, contribute to, be prone to, mitigate the impact, take measures to


4) 地歴：時代マップ（日本史・世界史） — 要点・因果の一枚マップ（テキスト版）

目的：時代を「原因→出来事→結果」の短いフレーズで網羅。暗記用1ページマップ。


日本史（主要区分：原因→出来事→結果）

•古代：豪族→大化の改新（中央集権）→律令国家確立
•中世：武士の台頭→源平・鎌倉幕府（御家人制）→封建制成立
•近世：戦国の混乱→江戸幕藩体制（鎖国）→商業・都市文化発展
•近代：黒船来航（外圧）→明治維新→中央集権と近代化、富国強兵
•現代：産業化→帝国主義・植民地政策→敗戦→民主化・高度経済成長
（各ラインに主要年号を付けてA4一枚で可）


世界史（ハイライト）

•古代文明：農業→都市国家→文字・宗教の成立
•中世：宗教（キリスト教・イスラム）→封建制→十字軍・交易路の拡大
•近世：大航海時代→植民地・資本主義発展→産業革命（英国）
•近代：市民革命（米・仏）→民族主義の台頭→帝国主義・WWI → WWII → 冷戦 → グローバル化


5) 小論文：典型答案（テーマ別・模範）

各 230–320 語の模範を6本（医療・AI・環境・教育・経済・国際）を用意。
まずは 構成＋模範冒頭＋要旨 を示します


A. 医療（医療資源配分：模範の要旨）

•序：高齢化社会の医療資源不足を提示
•本①：効率的配分（優先基準と倫理）
•本②：予防重視（公衆衛生投資）
•結：制度改革＋市民参加の重要性

模範冒頭（日本語要約）

「我が国は高齢化の急速な進展により、医療資源の配分が社会的課題となっている。
限られた医療を如何に公正かつ効果的に配分するかは、倫理的観点と実効性の両立を必要とする。
まず…」


B. AI（教育分野への導入）

•序：AIの利点と不安を同時提示
•本①：個別最適化（学習効率）
•本②：教員の役割再定義（倫理・監督）
•結：ガイドラインと実証研究の推進


C. 環境（脱炭素）

•序：温暖化の緊急性
•本①：技術（再エネ・CCS）の導入と経済性
•本②：行動変容と政策（炭素価格）
•結：公正な移行（Just Transition）


D. 教育（格差是正）

•序：教育格差の現状
•本①：早期介入（幼児教育）
•本②：IT×教材配布で学びの機会均等化
•結：長期投資の必要性


E. 経済（少子化対策）

•序：少子化の経済的影響
•本①：働き方改革＋保育の質向上
•本②：住宅・税制インセンティブ
•結：包括的政策パッケージ


F. 国際（グローバル化と主権）

•序：経済的相互依存の深まり
•本①：貿易依存とリスク管理（サプライチェーン多元化）
•本②：国際協調の強化（ルール形成）
•結：国益と国際責任の均衡


①数学公式の全展開／③生物の図解化（文章による図示）／④英作文テンプレ
の 3つを最大展開フルボリュームでまとめます。


① 数学公式「全展開」

（Ⅰ〜Ⅵの6大領域・入試で使う全公式フルリスト）

■Ⅰ．数と式

● 展開・因数分解
•(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a+b)2=a2+2ab+b2
•(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2(a−b)2=a2−2ab+b2
•a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)a2−b2=(a−b)(a+b)
•a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)
● 有理化
•1a+b=a−ba−b\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}a+b1=a−ba−b
● 指数・対数
•aman=am+na^m a^n = a^{m+n}aman=am+n
•(am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}(am)n=amn
•log⁡a+log⁡b=log⁡(ab)\log a + \log b = \log(ab)loga+logb=log(ab)
•log⁡a−log⁡b=log⁡(a/b)\log a - \log b = \log(a/b)loga−logb=log(a/b)
•alog⁡bc=clog⁡baa^{\log_b c} = c^{\log_b a}alogbc=clogba


■Ⅱ．方程式・関数

● 二次方程式
•解の公式
ax2+bx+c=0⇒x=−b±b2−4ac2aax^2+bx+c=0 \Rightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}ax2+bx+c=0⇒x=2a−b±b2−4ac
•判別式
D=b2−4acD=b^2-4acD=b2−4ac
● 頂点
•y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c の頂点
(−b2a,  −D4a)\left(-\frac{b}{2a},\; -\frac{D}{4a}\right)(−2ab,−4aD)
● 二次関数の最大最小
•軸：x=−b2ax=-\frac{b}{2a}x=−2ab


■Ⅲ．三角関数

● 三角比
•sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1sin2θ+cos2θ=1
•tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}tanθ=cosθsinθ
● 加法定理
sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\betasin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\betacos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}tan(α+β)=1−tanαtanβtanα+tanβ
● 倍角
•cos⁡2θ=1−2sin⁡2θ=2cos⁡2θ−1\cos 2θ = 1 - 2\sin^2θ = 2\cos^2θ - 1cos2θ=1−2sin2θ=2cos2θ−1
● 三角関数グラフの変形
•y=asin⁡(bx+c)+dy=a\sin(bx+c)+dy=asin(bx+c)+d


■Ⅳ．微分・積分

● 微分公式
•(xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1}(xn)′=nxn−1
•(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x(sinx)′=cosx
•(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x(cosx)′=−sinx
•(ex)′=ex(e^x)' = e^x(ex)′=ex
•合成関数：
(f(g(x)))′=f′(g(x))g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)(f(g(x)))′=f′(g(x))g′(x)
● 積分公式
•∫xndx=xn+1n+1+C\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C∫xndx=n+1xn+1+C
•∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C∫exdx=ex+C
•∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C\int \sin x dx = -\cos x + C∫sinxdx=−cosx+C
•∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\int \cos x dx = \sin x + C∫cosxdx=sinx+C
● 面積
∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx∫abf(x)dx


■Ⅴ．ベクトル

● 内積
a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\thetaa⋅b=∣a∣∣b∣cosθ
● 成分表示
a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3
● 平面ベクトルの面積
S=12∣a1b2−a2b1∣S=\frac{1}{2}|a_1b_2-a_2b_1|S=21∣a1b2−a2b1∣


■Ⅵ．確率

● 基本
•順列：nPr=n!(n−r)!nP r = \frac{n!}{(n-r)!}nPr=(n−r)!n!
•組合せ：nCr=n!r!(n−r)!nC r = \frac{n!}{r!(n-r)!}nCr=r!(n−r)!n!
● 条件付き確率
P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}P(A∣B)=P(B)P(A∩B)
● ベイズ
P(A∣B)=P(B∣A)P(A)P(B∣A)P(A)+P(B∣Aˉ)P(Aˉ)P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\bar{A})P(\bar{A})}P(A∣B)=P(B∣A)P(A)+P(B∣Aˉ)P(Aˉ)P(B∣A)P(A)



③ 生物：重要単元「図解化（文字で図示）」


● DNA → mRNA → タンパク質（セントラルドグマ）

DNA（二本鎖）
│転写
▼
mRNA（一次転写産物）
│スプライシング
▼
成熟mRNA
│翻訳
▼
タンパク質（アミノ酸鎖）


● 酵素反応速度（基質濃度と反応速度）

反応速度 v
│ ＿＿＿＿＿＿ Vmax
│ ／
│ ／
│ ／ （ミカエリス型）
│／＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 基質濃度[S]
Km


● 免疫（体液性免疫）

抗原侵入
│
▼
樹状細胞（提示）
│
▼
ヘルパーT
│
▼
B細胞 → 抗体産生


● 光合成

光反応
（チラコイド膜）
│ATP, NADPHを生成
▼
暗反応（カルビン回路）
│CO2固定
▼
グルコース合成


● 神経伝達

刺激
│
▼
受容器
│
▼
感覚神経 → 中枢 → 運動神経
│
▼
効果器（筋）


● 恒常性（血糖値）

血糖上昇 → インスリン → 取り込み ↑
血糖低下 → グルカゴン → 放出 ↑


● 系統樹

┌─ 魚類
┌──┤
│ └─ 両生類
──┤
│ ┌─ 爬虫類
└──┤
└─ 哺乳類


④ 英作文テンプレ（東大・早慶も対応）


① 基本文型テンプレ

【主張型】
•I believe that 〜 because … .
•It is important to 〜 for two reasons.
【客観型】
•There are several factors that explain 〜.


② 意見＋理由2つテンプレ

① My opinion:
I think that 〜 .


② Reason 1:
First, …


③ Reason 2:
Second, …


④ 結論:
For these reasons, I believe that 〜 .


③ 対比テンプレ

A has the advantage of 〜 , while B 〜 .
Therefore, A is more suitable when 〜 .


④ 問題→解決テンプレ

One serious problem is that 〜 .
To solve this issue, we should ① 〜 and ② 〜 .


⑤ データ説明テンプレ（東大頻出）

According to the graph, the number of 〜 increased rapidly.
This suggests that 〜 .


⑥ 100字英作文テンプレ（最短）

I think that 〜 . This is because ① 〜 and ② 〜 .



[地歴時代マップ ]と[小論文典型答案] をまとめます。
1枚マップ形式で整理した因果・時系列の地歴 と 全テーマ型の小論文模範答案


⑤ 地歴：1ページ時代マップ（因果整理）

■ 日本史：原因 → 出来事 → 結果

時代 原因・背景 出来事 結果・影響
古代 豪族の台頭、律令体制の必要性 大化の改新 中央集権国家成立、税制・班田制導入
奈良 律令国家運営の強化 平城京遷都、国分寺建立 仏教・文化隆盛、中央集権化進展
平安 藤原氏摂関政治、地方豪族の自立 摂関政治、院政 貴族文化の発展、武士台頭の伏線
鎌倉 武士の台頭、源平合戦 鎌倉幕府成立 御家人制度・封建体制確立
室町 足利氏政権、守護の台頭 南北朝・応仁の乱 戦国時代へ、地方分権化進行
戦国 戦国大名の領土拡張 天下統一戦争 江戸幕藩体制確立
江戸 外圧・国内統制 徳川幕府成立、鎖国 長期安定、町人文化発展
明治 外圧（黒船）、国内改革意欲 明治維新 中央集権化、近代化、富国強兵
近代 産業化・帝国主義 日清・日露戦争 軍事・経済強国化、植民地獲得
現代 戦後復興・高度成長 戦後改革・経済成長 民主化、経済大国化、国際化

■ 世界史：1ページ時代マップ（因果整理）

時代 原因・背景 出来事 結果・影響
古代 農業発展、文字発明 メソポタミア文明、エジプト文明 都市国家・法制度・宗教成立
古典 ギリシャ文化、ローマ帝国 民主政治・共和政、拡張戦争 ヨーロッパ文化基盤、法体系形成
中世 封建制度、宗教権威 十字軍、イスラム文明との交易 商業・文化交流、宗教対立
近世 大航海時代、交易圏拡大 植民地獲得、絶対王政 世界貿易発展、帝国主義の萌芽
近代 市民革命・啓蒙思想 米・仏革命、産業革命 近代国家成立、経済発展、階級変動
近代末〜現代 国民国家・帝国主義 WWI、WWII 国際秩序変化、冷戦構造、国際機関設立
現代 グローバル化、経済相互依存 冷戦終結、IT革命 国際経済・文化交流拡大、課題：環境・貧困

⑥ 小論文：典型答案（テーマ別）

ここでは各テーマの構成・模範冒頭・要旨を示します。全文はA4 1枚程度で書けるボリュームを意識。


1. 医療（医療資源配分）

•構成：序→本①効率的配分→本②予防重視→結
•模範冒頭：
「我が国は高齢化により医療資源の配分が課題である。限られた医療を公正かつ効果的に配分することは、倫理と実効性の両立が必要である。」
•要旨：優先基準策定＋予防重視＋制度改革の必要性


2. AI（教育分野導入）

•構成：序→本①学習効率化→本②教員役割再定義→結
•模範冒頭：
「AI技術の教育分野導入は利点と課題を同時に持つ。個別最適化により学習効率は上がるが、倫理・監督の課題もある。」
•要旨：AI活用＋教員監督＋ガイドライン整備


3. 環境（脱炭素）

•構成：序→本①技術導入→本②政策・行動変容→結
•模範冒頭：
「地球温暖化は喫緊の課題であり、脱炭素社会への移行が求められる。技術と政策の両輪が必要である。」
•要旨：再エネ技術＋炭素価格＋公正な移行


4. 教育（格差是正）

•構成：序→本①早期介入→本②IT×教材→結
•模範冒頭：
「教育格差は社会的不平等を拡大する要因であり、早期介入と学習機会均等化が必要である。」
•要旨：幼児教育＋ICT活用＋長期的投資


5. 経済（少子化対策）

•構成：序→本①働き方改革→本②住宅・税制→結
•模範冒頭：
「少子化は経済に多大な影響を及ぼす。政策パッケージによる包括的対策が必要である。」
•要旨：働き方改革＋子育て支援＋税制施策


6. 国際（グローバル化と主権）

•構成：序→本①貿易依存→本②国際協調→結
•模範冒頭：
「経済の相互依存が進む中、国益と国際責任の均衡を考慮した政策が必要である。」
•要旨：サプライチェーン多元化＋ルール形成＋国際協調


💡 ポイント

•各テーマとも「序→本①→本②→結」で統一
•模範冒頭は実戦でそのまま書けるフレーズ
•要旨は短文で、試験当日に論理展開の道筋を確認可能


化学計算テンプレ（全50問型） と 小論文全文サンプル（6〜10テーマ） をフル展開します。


⑦ 化学：計算問題テンプレ 50問型

頻出テーマ別に分類。高校〜東大入試対応。番号順に演習可能。

■ Ⅰ．理論化学（20問）

1.モル計算：物質量から質量を求める
2.モル濃度：溶液のモル濃度計算
3.気体：理想気体の状態方程式計算
4.気体：分圧と全圧
5.化学反応量：反応式から生成物質量
6.反応熱：標準生成熱から反応熱
7.比例計算：質量比・モル比
8.濃度変化：希釈・混合計算
9.電解質の電離度計算
10.pH計算：強酸・強塩基
11.酸塩基平衡：弱酸の解離度
12.緩衝液のpH計算
13.酸化還元：電子移動量計算
14.標準電極電位：電池電圧計算
15.気体発生量の計算（反応速度も含む）
16.反応速度：濃度変化→速度定数
17.化学平衡：平衡定数K計算
18.溶解度積Ksp計算
19.理想気体の分率圧と反応量
20.酸化還元滴定計算


■ Ⅱ．無機化学（10問）

21.原子量・分子量計算
22.酸化数計算
23.金属の反応量
24.酸・塩基の滴定
25.気体発生量（反応式使用）
26.電気分解：ファラデーの法則
27.金属の熱化学計算
28.無機化合物の質量割合
29.ハロゲン・酸素の反応計算
30.酸化還元反応量


■ Ⅲ．有機化学（20問）

31.分子量・組成計算
32.構造式から元素分析
33.沸点・融点計算
34.エステル化反応量
35.付加反応量
36.置換反応量
37.脱水・酸化反応量
38.アルコール酸化量
39.芳香族反応量
40.有機物の酸化還元
41.分子式決定（元素分析）
42.モル比・生成物質量
43.反応収率計算
44.分配係数計算
45.中和反応量
46.反応熱計算
47.結晶性化合物量
48.同素体の質量割合
49.溶液濃度・混合計算
50.複合反応問題（総合演習）

✅ 各問とも「例題→解法の公式化→計算式→答え」を作ると、完全テンプレ化可能。


⑧ 小論文：全文サンプル（全文書き込み例）

1. 医療：医療資源配分（全文例）

我が国は高齢化に伴い医療資源の配分が深刻な課題となっている。
限られた医療資源を公正かつ効率的に配分することは、倫理と実効性の両立が求められる。
第一に、優先基準の明確化が必要である。
重篤度、緊急度、治療効果の観点から資源配分を体系化することで、公平性を担保できる。
第二に、予防医療の推進で医療負担を軽減することが可能である。
定期検診、ワクチン接種、健康教育の普及により、医療需要を抑制できる。
これらに加えて、
制度改革やICT活用による効率化を図れば、
限られた医療資源を最大限有効に活用できる。
以上の理由から、医療資源配分の最適化は喫緊の課題である。


2. AI教育導入（全文例）

AI技術の教育分野導入は利点と課題を併せ持つ。
個別最適化により学習効率は向上する一方で、
倫理的課題や教員監督の重要性も増す。
第一に、AIによる個別学習支援は、
生徒の理解度に応じた教材配信を可能とし、学習効率を高める。
第二に、教員は学習進度の監督や人間的指導に注力できるため、
教育の質向上につながる。
さらに、適切なガイドライン策定により、
プライバシー保護や偏差拡大の防止も可能である。
したがって、AI導入は教育改革の推進力となる。


3. 環境：脱炭素社会（全文例）

地球温暖化は喫緊の課題であり、
脱炭素社会への移行が求められる。
技術革新と政策の両輪が必要である。
第一に、
再生可能エネルギーの導入は温室効果ガス排出削減に直接寄与する。
太陽光、風力、水力の活用は重要である。
第二に、
政策面では炭素価格設定や規制による行動変容が必要である。
企業や個人の排出削減を促す仕組みの整備が求められる。
これらを組み合わせることで、持続可能で公正な脱炭素社会を実現できる。


4. 教育格差是正（全文例）

教育格差は社会的不平等を助長する。
早期介入と学習機会の均等化が不可欠である。
第一に、
幼児期からの教育支援は学力格差を軽減する。
保育・幼児教育への投資が重要である。
第二に、
ICTやオンライン教材を活用することで、
地域や家庭環境による格差を是正できる。
したがって、
早期介入とICT活用による包括的施策が、教育格差の解消につながる。


5. 少子化対策（全文例）

少子化は経済成長や社会保障制度に大きな影響を与える。
包括的政策が必要である。
第一に、
働き方改革による育児と仕事の両立支援は出生率改善に寄与する。
第二に、
住宅支援や税制優遇により子育て環境を整備することが重要である。
これらの施策を組み合わせることで、
少子化に歯止めをかけ、持続可能な社会を構築できる。


6. 国際：グローバル化と主権（全文例）

経済の相互依存が進む中、
国益と国際責任の均衡が重要である。
第一に、
貿易依存の高まりに対応するため、
サプライチェーンの多元化が求められる。
第二に、
国際協調やルール形成への積極的参加は、
国際的信頼性向上につながる。
このように
国益保護と国際協調の両立を図ることで、
持続可能な外交戦略を構築できる。


💡 ポイント

•全テーマとも「序→本①→本②→結」で統一
•模範文はそのまま試験で書けるレベル
•50問化学問題＋全文小論文で、完全演習＋実戦PDFが作成可能